B4 + B5 (chemia fizyczna)

Plik pdf z zadaniami z promieniotwórczością

Zadanie z izotermą było już na 53 edycji (zobacz na folder B + II etap + III etap). Najlepiej w tym przypadku nauczyć się na zadaniach, tu zasadniczo nie ma być co innego. Odsyłam jeszcze tutaj lub tutaj.

Chemia izotopów ma wiele różnych przydatnych zastosowań w wielu różnych dziedzinach nauki. Używa się ją np. w badaniu mechanizmów reakcji, katalizy, dyfuzji itp. W geologii izotopów używa się do datowania różnego rodzaju obiektów : minerałów, meteorytów itp. 

Jedna z metod datowania bazuje na izotopach samaru (Sm) oraz neodymu (Nd). Ilość izotopu neodymu−143 rośnie wskutek rozpadu izotopu samaru−147 (czas półtrwania wynosi t_1/2 = 1,06 • 10¹¹ lat) z początkowej ilości Nd−143, którą oznaczymy jako n₀(¹⁴³Nd) w momencie, gdy obiekt (np. minerał) uległ stworzeniu. 

Ilość neodymu−144, którą oznaczymy jako n(¹⁴⁴Nd) natomiast nie ulega zmianie, co pozwala na ustalenie wieku próbki poprzez pomiar stosunku ¹⁴³Nd/¹⁴⁴Nd  oraz  ¹⁴⁷Sm/¹⁴⁴Nd. 

W 1978 roku znaleziono dwa minerały w jednym z meteorytów, nazwijmy je M1 oraz M2. Dla każdego z nich zbadano podane stosunki izotopowe, a wyniki przedstawiono w tabeli. 

Minerał	stosunek  n(143Nd)/n(144Nd)	stosunek   n(147Sm)/n(144Nd)
M1	0,51	0,111
M2	0,515	0,28

1. napisz równanie reakcji rozpadu samaru−147  oraz oblicz stałą szybkości tej reakcji. 
2. oblicz stosunek początkowej ilości neodymu−143 do początkowej ilości neodymu−144 w badanym meteorycie w chwili jego powstania, co oznaczymy jako stosunek n₀(¹⁴³Nd) : n(¹⁴⁴Nd). Pamiętaj, że ten stosunek jest taki sam w obu minerałach. 
3. oblicz wiek badanego meteorytu
4. czy wykorzystując opisaną w treści zadania metodę można zbadać wiek skał, które został stworzone około 3 do 5 tysięcy lat p.n.e ? 

Rozwiązania : 

Z układu okresowego odczytujemy liczby atomowe dla samaru i neodymu, które jak widzimy różnią się o dwa, a zatem mamy do czynienia z klasycznym rozpadem alfa. 

Obliczenie stałej szybkości to formalność : 

ln2 / (1,06 • 10¹¹ ) = k 

k = 6,5 • 10^ー12  1/lat. 

Całkowita liczba neodymu−143 , czyli n(¹⁴³Nd) to początkowa liczba neodymu  n₀(¹⁴³Nd) oraz ta, która powstaje z rozpadu samaru po jakimś czasie t , czyli  n_t(¹⁴³Nd). Oznaczenia są dowolne (oprócz tych wymienionych w zadaniu). 

Teraz korzystając ze scałkowanej postaci równania kinetycznego I–rzędu możemy zapisać : 

Gdzie n₀(¹⁴⁷Sm) oznacza początkową ilość samaru−147, natomiast n_t(¹⁴⁷Sm) oznacza ilość samaru, która została (nie uległa rozpadowi). Można zauważyć, że tyle ile się rozpadło samaru, tyle też powstanie neodymu (stechiometria reakcji jest 1 : 1), zatem można zapisać równość, że : 

Jak widać, ten ułamek w logarytmie upraszcza się do ln (1 + n_t(¹⁴³Nd) / n_t(¹⁴⁷Sm)). Pozbywamy się logarytmu i wyprowadzamy wzór na  n_t(¹⁴³Nd) : 

Możemy użyć teraz nowo wyprowadzonej równości do tej z samego początku : 

Nasze równanie obustronnie dzielimy teraz przez n(¹⁴⁴Nd) jako że my właśnie ten stosunek chcemy wyznaczyć. 

A niektóre stosunki mamy podane w tabeli, zatem tworzymy układ równań. Dwie niewiadome to szukany stosunek, który możemy oznaczyć jako x , natomiast drugą niewiadomą jest czas, tylko problem jest taki, że on jest w potędze. Można zatem sprytnie założyć, że niech   e^kt − 1 = y , wówczas mamy układ równań : 

Szukany stosunek wynosi 0,5067 , natomiast skoro e^kt − 1 = y = 0,0296 , to możemy obliczyć czas, ponieważ znamy stałą szybkości k = 6,5 • 10^ー12  1/lat. Obustronnie logarytmujemy mając : kt = 1,0296 i dalej już łatwo : t = 4,49 • 10⁹  lat